| Titre : |
Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres) |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Colmez, Pierre, Auteur |
| Editeur : |
Paris : Ecole Polytechnique |
| Année de publication : |
2014 |
| Importance : |
657 P |
| Format : |
24X17 CM |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7302-1587-9 |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Français (fre) |
| Mots-clés : |
Eléments d'analyse,Eléments d'algèbre, théorie des nombres. |
| Index. décimale : |
512 |
| Résumé : |
Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'École Polytechnique.
Son format un peu particulier en fait un bon compagnon pour la préparation des concours du taupin ambitieux et de l'agrégatif, ou pour l'étudiant de L3 ou quiconque ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne des mathématiques. Le long chapitre "Vocabulaire Mathématique", dont le but était d'offrir aux élèves des autres filières le résumé d'un cours des meilleures classes de MP*, regroupe et précise, sous une forme compacte, l'essentiel des notions de base vues en L1 et L2 ou pendant les classes préparatoires (groupes, anneaux, corps, algèbre linéaire, matrices, topologie, compacité, connexité, complétude, séries numériques, convergence de fonctions, espaces hermitiens).
Il comporte plus d'une centaine d'exercices corrigés. Le cours qui suit offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques : la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension naturelle de l'algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier, l'analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier) et la théorie des fonctions holomorphes. Il recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l'Université.
Les 13 problèmes corrigés combinent les théorèmes du cours pour démontrer de jolis résultats comme l'irrationalité de Sigma (3). La principale originalité de l'ouvrage vient de l'accent mis sur l'aspect culturel et l'unité des mathématiques. De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute des mathématiques utiles. Sept appendices présentent des extraits de la littérature mathématique classique, accessibles avec le contenu du cours, qui montrent comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds.
L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers dont la démonstration a pris plus de 150 ans ; un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat. Entre les deux le lecteur pourra découvrir quelques aspects du monde p-adique ou une formule indiquant des liens encore mystérieux entre les mondes réels et p-adiques, ou encore un problème millénaire non encore résolu. |
| Note de contenu : |
Sommaire
REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS
ESPACES DE BANACH
INTEGRATION
TRANSFORMEE DE FOURIER
FONCTIONS HOLOMORPHES
LA FORMULE DE CAUCHY ET CELLE DES RESIDUS (DE CAUCHY)
SERIES DE DIRICHLET
LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS
VOLUME DE SLN(R) / SLN(Z)
GROUPES FINIS ET REPRESENTATIONS : EXEMPLES |
Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres) [texte imprimé] / Colmez, Pierre, Auteur . - Paris : Ecole Polytechnique, 2014 . - 657 P ; 24X17 CM. ISBN : 978-2-7302-1587-9 Langues : Français ( fre) Langues originales : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Eléments d'analyse,Eléments d'algèbre, théorie des nombres. |
| Index. décimale : |
512 |
| Résumé : |
Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'École Polytechnique.
Son format un peu particulier en fait un bon compagnon pour la préparation des concours du taupin ambitieux et de l'agrégatif, ou pour l'étudiant de L3 ou quiconque ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne des mathématiques. Le long chapitre "Vocabulaire Mathématique", dont le but était d'offrir aux élèves des autres filières le résumé d'un cours des meilleures classes de MP*, regroupe et précise, sous une forme compacte, l'essentiel des notions de base vues en L1 et L2 ou pendant les classes préparatoires (groupes, anneaux, corps, algèbre linéaire, matrices, topologie, compacité, connexité, complétude, séries numériques, convergence de fonctions, espaces hermitiens).
Il comporte plus d'une centaine d'exercices corrigés. Le cours qui suit offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques : la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension naturelle de l'algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier, l'analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier) et la théorie des fonctions holomorphes. Il recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l'Université.
Les 13 problèmes corrigés combinent les théorèmes du cours pour démontrer de jolis résultats comme l'irrationalité de Sigma (3). La principale originalité de l'ouvrage vient de l'accent mis sur l'aspect culturel et l'unité des mathématiques. De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute des mathématiques utiles. Sept appendices présentent des extraits de la littérature mathématique classique, accessibles avec le contenu du cours, qui montrent comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds.
L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers dont la démonstration a pris plus de 150 ans ; un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat. Entre les deux le lecteur pourra découvrir quelques aspects du monde p-adique ou une formule indiquant des liens encore mystérieux entre les mondes réels et p-adiques, ou encore un problème millénaire non encore résolu. |
| Note de contenu : |
Sommaire
REPRESENTATIONS DES GROUPES FINIS
ESPACES DE BANACH
INTEGRATION
TRANSFORMEE DE FOURIER
FONCTIONS HOLOMORPHES
LA FORMULE DE CAUCHY ET CELLE DES RESIDUS (DE CAUCHY)
SERIES DE DIRICHLET
LE THEOREME DES NOMBRES PREMIERS
VOLUME DE SLN(R) / SLN(Z)
GROUPES FINIS ET REPRESENTATIONS : EXEMPLES |
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