| Titre : |
Calcul variationnel |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Jean-Pierre, Bourguignon, Auteur |
| Editeur : |
Paris : Ecole Polytechnique |
| Année de publication : |
2012 |
| Importance : |
330p |
| Format : |
24x17cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7302-1415-5 |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Français (fre) |
| Mots-clés : |
Calcul variationnel |
| Index. décimale : |
515 |
| Résumé : |
Ce cours a comme ambition de présenter les concepts de base permettant de discuter quelques problèmes classiques du calcul des variations. Tout en donnant des méthodes de portée générale, Il est centré autour de la recherche des extremums d'une fonction définie sur un espace. Pour faire cela, il convient de généraliser la notion d'espace dans deux directions : d'abord, pour traiter commodément des objets qui sont "variés" (le plus souvent des fonctions), il faut disposer d'espaces qui possèdent naturellement une infinité de dimensions (c'est là une amorce de l'étude de l'analyse fonctionnelle qui s'est révélée si féconde dans la résolution des équations aux dérivées partielles); ensuite, pour trouver les extremums de la fonction étudiée, il faut pouvoir continuer à disposer d'une notion de dérivée dans des espaces courbes comme le sont la plupart des espaces de configuration intervenant dans des situations concrètes, par exemple en mécanique. C'est là une première rencontre avec la géométrie différentielle intrinsèque ; cette partie se cache souvent sous le nom de calcul différentiel. Pour ce faire nous avons délibérément utilisé le langage géométrique parce qu'il nous semble le mieux adapté et le plus efficace pour traiter les problèmes que nous avons en vue, d'où le titre de "Calcul variationnel" donné à ce cours. Ces notes de cours en onze chapitres se décomposent naturellement en trois parties qu'il est bon d'aborder avec des états d'esprit assez différents. La première, intitulée "Le cadre analytique", regroupe les chapitres I, II et III. Elle se propose d'amplifier et de fortifier les connaissances antérieures des étudiants sur les fondements de l'analyse. La deuxième, intitulée "Le cadre géométrique", couvre les chapitres IV, V, VI et VII et introduit une démarche et des concepts plus nouveaux. Elle suppose la pratique de nombreux exercices (dont certains proposés dans ces notes de cours) pour se persuader que parler "en prose" tout en le sachant n'est finalement pas chose si difficile. La troisième enfin, intitulée "Le calcul des variations", englobe les chapitres VIII, IX, X et XI, (et est le véritable aboutissement du cours). Elle ouvre sur un champ très large d'applications, et c'est cette variété qui fait la force des théorèmes présentés. |
| Note de contenu : |
Sommaire
LE CADRE ANALYTIQUE
Une première généralisation de la notion d'espace : les espaces de dimension infinie
Espaces de Banach et espaces de Hilbert
Linéarisation des applications différentiables et inversion locale
LE CADRE GEOMETRIQUE
Quelques applications du calcul différentiel
Une nouvelle généralisation de la notion d'espace : les espaces de configuration
Vecteurs tangents et champs de vecteurs dans les espaces de configuration
Points réguliers et points critiques des fonctions numériques
LE CALCUL DES VARIATIONS
Les espaces de configuration d'objets géométriques
Les équations d'Euler-Lagrange
Le point de vue Hamiltonien
Symétries et lois de conservation |
Calcul variationnel [texte imprimé] / Jean-Pierre, Bourguignon, Auteur . - Paris : Ecole Polytechnique, 2012 . - 330p ; 24x17cm. ISBN : 978-2-7302-1415-5 Langues : Français ( fre) Langues originales : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Calcul variationnel |
| Index. décimale : |
515 |
| Résumé : |
Ce cours a comme ambition de présenter les concepts de base permettant de discuter quelques problèmes classiques du calcul des variations. Tout en donnant des méthodes de portée générale, Il est centré autour de la recherche des extremums d'une fonction définie sur un espace. Pour faire cela, il convient de généraliser la notion d'espace dans deux directions : d'abord, pour traiter commodément des objets qui sont "variés" (le plus souvent des fonctions), il faut disposer d'espaces qui possèdent naturellement une infinité de dimensions (c'est là une amorce de l'étude de l'analyse fonctionnelle qui s'est révélée si féconde dans la résolution des équations aux dérivées partielles); ensuite, pour trouver les extremums de la fonction étudiée, il faut pouvoir continuer à disposer d'une notion de dérivée dans des espaces courbes comme le sont la plupart des espaces de configuration intervenant dans des situations concrètes, par exemple en mécanique. C'est là une première rencontre avec la géométrie différentielle intrinsèque ; cette partie se cache souvent sous le nom de calcul différentiel. Pour ce faire nous avons délibérément utilisé le langage géométrique parce qu'il nous semble le mieux adapté et le plus efficace pour traiter les problèmes que nous avons en vue, d'où le titre de "Calcul variationnel" donné à ce cours. Ces notes de cours en onze chapitres se décomposent naturellement en trois parties qu'il est bon d'aborder avec des états d'esprit assez différents. La première, intitulée "Le cadre analytique", regroupe les chapitres I, II et III. Elle se propose d'amplifier et de fortifier les connaissances antérieures des étudiants sur les fondements de l'analyse. La deuxième, intitulée "Le cadre géométrique", couvre les chapitres IV, V, VI et VII et introduit une démarche et des concepts plus nouveaux. Elle suppose la pratique de nombreux exercices (dont certains proposés dans ces notes de cours) pour se persuader que parler "en prose" tout en le sachant n'est finalement pas chose si difficile. La troisième enfin, intitulée "Le calcul des variations", englobe les chapitres VIII, IX, X et XI, (et est le véritable aboutissement du cours). Elle ouvre sur un champ très large d'applications, et c'est cette variété qui fait la force des théorèmes présentés. |
| Note de contenu : |
Sommaire
LE CADRE ANALYTIQUE
Une première généralisation de la notion d'espace : les espaces de dimension infinie
Espaces de Banach et espaces de Hilbert
Linéarisation des applications différentiables et inversion locale
LE CADRE GEOMETRIQUE
Quelques applications du calcul différentiel
Une nouvelle généralisation de la notion d'espace : les espaces de configuration
Vecteurs tangents et champs de vecteurs dans les espaces de configuration
Points réguliers et points critiques des fonctions numériques
LE CALCUL DES VARIATIONS
Les espaces de configuration d'objets géométriques
Les équations d'Euler-Lagrange
Le point de vue Hamiltonien
Symétries et lois de conservation |
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