| Titre : |
Destination géométrie et topologie avec Thurston |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Arnaud Chéritat, Auteur ; Étienne Ghys, Auteur ; Christian Mercat, Auteur |
| Editeur : |
Paris : Le Pommier |
| Année de publication : |
2013 |
| Importance : |
160 p |
| Format : |
22x14.5 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7465-0708-1 |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Français (fre) |
| Mots-clés : |
géométrie
Topologie |
| Index. décimale : |
516 |
| Résumé : |
Topologie... géométrie... en petites dimensions ? Mais késako ? !
La topologie est la science qui étudie les formes en général et s'intéresse notamment aux courbes ou aux surfaces ; les topologues aiment bien d'ailleurs couper leurs surfaces le long de certaines courbes pour les recoller suivant d'autres... Les géomètres, quant à eux, sont familiers des distances, des mesures d'angles comme on l'apprend à l'école. S'appuyant sur des intuitions très géométriques, le mathématicien William Thurston (1946-2012) a proposé à la fin des années 1970 un programme de recherche pour comprendre la forme de tous les espaces de dimension 3, bouleversant par la même occasion notre façon d'appréhender ces espaces. Ce programme fut finalement mené à son terme dans les années 2000 par le mathématicien Grigori Perelman d'une manière tout aussi grandiose !
C'est un voyage guidé dans quelques-unes de ces mathématiques que nous vous proposons à travers des textes tirés de la revue Images des mathématiques.
Cet ouvrage est dédié à William Thurston (1946-2012), médaillé Fields en 1982 pour avoir révolutionné la topologie en dimension 2 et 3 et fait avancer topologie et géométrie.
Détaillons son contenu :
1) Étienne Ghys, William Thurston
clarté et compréhension
L’apport des mathématiques à la compréhension du monde une nouvelle façon de communiquer sur les mathématiques. La conception des mathématiques de Thurston : les révolutions sont importantes mais elles sont rares et dépendent largement de la communauté des mathématiciens.
2) Christian Mercat
De beaux entrelacs
Épatez vos amis gothiques. Des objets bien concrets de la vie quotidienne, un thème qui fascine les jeunes aujourd’hui et qui peut être exploité dès le collège.
3) Luis Paris
Les tresses : de la topologie à la cryptographie
Des tresses aux noeuds ; des tresse aux mots. Décidabilité. Cryptosystèmes basés sur les tresses.
4) Patrick Popescu-Pampu
La bande que « tout le monde connaît ». Apparition en 1858 (Listing, Möbius) ; construction ; relations avec l’environnement ; découpages. La bande dans les mathématiques contemporaines.
5) Julien Marché
Triangulations : de la Terre au nœud de trèfle
Construire et classer toutes les surfaces possibles. un tour de magie de Thurston : la triangulation de l’extérieur du noeud de trèfle. Cette construction fait l’objet d’une animation dans la version en ligne.
6) Étienne Ghys
Les images comme symboles mathématiques
Un débat entre ceux qui pensent comme Dieudonné qu’ « il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des figures traditionnelles en en parlant le moins possible » et ceux qui avec Hilbert ne « pourraient se passer de l’utilisation de formules graphiques », débat qui est d’actualité à la fois par la place de l’image dans notre société et par les possibilités extraordinaires des logiciels de création graphique.
7) Jos Leys
Une chambre hyperbolique
Comment un musée des sciences pourrait-il, grâce à un assemblage de miroirs cylindriques, donner aux visiteurs une idée concrète de la géométrie hyperbolique ? Pavages et polyèdres hyperboliques.
8) Étienne Ghys
Géométriser l’espace
De Gauss à Perelman, le théorème d’uniformisation a cent ans ! L’histoire simplifiée de la « conjecture de géométrisation de Thurston » dont la preuve valut au mathématicien russe Grigori Perelman en 2006 une médaille Fields qu’il refusa. Hipparque et Ptolémée (représenter le ciel étoilé sur un plan. Gauss (représentation conforme). Riemann et ses surfaces. Gauss encore (le plan hyperbolique). Poincaré (théorème d’uniformisation). Thurston (tout espace de dimension 3 peut être muni d’une métrique localement isométrique à l’une des huit géométries de Thurston).
9) Patrick Massot
La conjecture de Poincaré
Un résultat pressenti il y a un siècle, l’un des sept objets d’un prix d’un million de dollars offert par la fondation Clay, démontré en 2003 par Grigori Perelman. Propriétés géométriques et topologiques des variétés de dimension 3.
10) Arnaud Chéritat et Tan Lei
Si nous faisions danser les racines ?
Quelques observations sur le théorème de Gauss (1836) et Lucas (1874) qui affirme que l’enveloppe convexe des racines de tout polynôme P contient les racines du polynôme dérivé P’ (la version en ligne de l’article dispose d’une animation qui permet de déplacer les racines). une généralisation due à Thurston et des idées de démonstrations géométriques. |
| Note de contenu : |
Sommaire :
Chapitre 1: Clarté et compréhension
Chapitre 2: De beaux entrelacs
Chapitre 3: Les tresses:de la topologie à la cryptographie
Chapitre 4: La bande que ‹tout le monde connait›
Chapitre 5: Triangulations: de la terre au noeud de trèfle
Chapitre 6: Les images comme symboles mathématiques
Chapitre 7: Une chambre hyperbolique
Chapitre 8: Géométriser l'espace!de gauss à perelman
Chapitre 9: La conjecture de poincaré
Chapitre 10: Si nous faisons danser les racines?
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Destination géométrie et topologie avec Thurston [texte imprimé] / Arnaud Chéritat, Auteur ; Étienne Ghys, Auteur ; Christian Mercat, Auteur . - Paris : Le Pommier, 2013 . - 160 p ; 22x14.5 cm. ISBN : 978-2-7465-0708-1 Langues : Français ( fre) Langues originales : Français ( fre)
| Mots-clés : |
géométrie
Topologie |
| Index. décimale : |
516 |
| Résumé : |
Topologie... géométrie... en petites dimensions ? Mais késako ? !
La topologie est la science qui étudie les formes en général et s'intéresse notamment aux courbes ou aux surfaces ; les topologues aiment bien d'ailleurs couper leurs surfaces le long de certaines courbes pour les recoller suivant d'autres... Les géomètres, quant à eux, sont familiers des distances, des mesures d'angles comme on l'apprend à l'école. S'appuyant sur des intuitions très géométriques, le mathématicien William Thurston (1946-2012) a proposé à la fin des années 1970 un programme de recherche pour comprendre la forme de tous les espaces de dimension 3, bouleversant par la même occasion notre façon d'appréhender ces espaces. Ce programme fut finalement mené à son terme dans les années 2000 par le mathématicien Grigori Perelman d'une manière tout aussi grandiose !
C'est un voyage guidé dans quelques-unes de ces mathématiques que nous vous proposons à travers des textes tirés de la revue Images des mathématiques.
Cet ouvrage est dédié à William Thurston (1946-2012), médaillé Fields en 1982 pour avoir révolutionné la topologie en dimension 2 et 3 et fait avancer topologie et géométrie.
Détaillons son contenu :
1) Étienne Ghys, William Thurston
clarté et compréhension
L’apport des mathématiques à la compréhension du monde une nouvelle façon de communiquer sur les mathématiques. La conception des mathématiques de Thurston : les révolutions sont importantes mais elles sont rares et dépendent largement de la communauté des mathématiciens.
2) Christian Mercat
De beaux entrelacs
Épatez vos amis gothiques. Des objets bien concrets de la vie quotidienne, un thème qui fascine les jeunes aujourd’hui et qui peut être exploité dès le collège.
3) Luis Paris
Les tresses : de la topologie à la cryptographie
Des tresses aux noeuds ; des tresse aux mots. Décidabilité. Cryptosystèmes basés sur les tresses.
4) Patrick Popescu-Pampu
La bande que « tout le monde connaît ». Apparition en 1858 (Listing, Möbius) ; construction ; relations avec l’environnement ; découpages. La bande dans les mathématiques contemporaines.
5) Julien Marché
Triangulations : de la Terre au nœud de trèfle
Construire et classer toutes les surfaces possibles. un tour de magie de Thurston : la triangulation de l’extérieur du noeud de trèfle. Cette construction fait l’objet d’une animation dans la version en ligne.
6) Étienne Ghys
Les images comme symboles mathématiques
Un débat entre ceux qui pensent comme Dieudonné qu’ « il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des figures traditionnelles en en parlant le moins possible » et ceux qui avec Hilbert ne « pourraient se passer de l’utilisation de formules graphiques », débat qui est d’actualité à la fois par la place de l’image dans notre société et par les possibilités extraordinaires des logiciels de création graphique.
7) Jos Leys
Une chambre hyperbolique
Comment un musée des sciences pourrait-il, grâce à un assemblage de miroirs cylindriques, donner aux visiteurs une idée concrète de la géométrie hyperbolique ? Pavages et polyèdres hyperboliques.
8) Étienne Ghys
Géométriser l’espace
De Gauss à Perelman, le théorème d’uniformisation a cent ans ! L’histoire simplifiée de la « conjecture de géométrisation de Thurston » dont la preuve valut au mathématicien russe Grigori Perelman en 2006 une médaille Fields qu’il refusa. Hipparque et Ptolémée (représenter le ciel étoilé sur un plan. Gauss (représentation conforme). Riemann et ses surfaces. Gauss encore (le plan hyperbolique). Poincaré (théorème d’uniformisation). Thurston (tout espace de dimension 3 peut être muni d’une métrique localement isométrique à l’une des huit géométries de Thurston).
9) Patrick Massot
La conjecture de Poincaré
Un résultat pressenti il y a un siècle, l’un des sept objets d’un prix d’un million de dollars offert par la fondation Clay, démontré en 2003 par Grigori Perelman. Propriétés géométriques et topologiques des variétés de dimension 3.
10) Arnaud Chéritat et Tan Lei
Si nous faisions danser les racines ?
Quelques observations sur le théorème de Gauss (1836) et Lucas (1874) qui affirme que l’enveloppe convexe des racines de tout polynôme P contient les racines du polynôme dérivé P’ (la version en ligne de l’article dispose d’une animation qui permet de déplacer les racines). une généralisation due à Thurston et des idées de démonstrations géométriques. |
| Note de contenu : |
Sommaire :
Chapitre 1: Clarté et compréhension
Chapitre 2: De beaux entrelacs
Chapitre 3: Les tresses:de la topologie à la cryptographie
Chapitre 4: La bande que ‹tout le monde connait›
Chapitre 5: Triangulations: de la terre au noeud de trèfle
Chapitre 6: Les images comme symboles mathématiques
Chapitre 7: Une chambre hyperbolique
Chapitre 8: Géométriser l'espace!de gauss à perelman
Chapitre 9: La conjecture de poincaré
Chapitre 10: Si nous faisons danser les racines?
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