| Titre : |
Suites, séries, intégrales : cours et exercices corrigés |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Guerre Delabrière Sylvie, Auteur ; . |
| Editeur : |
Paris [France] : ellipses |
| Année de publication : |
2009 |
| Importance : |
192 p |
| Format : |
24x18 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978729850548 |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Français (fre) |
| Mots-clés : |
Suites
séries -intégrales |
| Index. décimale : |
515 - Analyse mathématique |
| Résumé : |
L’étude des suites, séries et intégrales à valeurs numériques d’une part et à valeurs fonctionnelles d’autre part, qui constitue le sujet de ce livre, forme un ensemble de techniques indispensables en mathématiques et tout particulièrement en Analyse. Cet ouvrage présente en premier lieu un rappel des raisonnements logiques élémentaires en mathématique. Il s’intéresse ensuite aux méthodes de base de l’Analyse classique, reposant sur les différents types de convergence des suites, séries et intégrales à valeurs numériques puis à valeurs fonctionnelles, avec une approche pédagogique progressive. Les démonstrations mathématiques détaillées sont accompagnées de nombreux exemples ou contre-exemples, destinés à éclairer ces notions abstraites. Pour chaque chapitre, ce livre propose des exercices avec corrigés détaillés. Ce livre correspond à un cours enseigné actuellement en deuxième année de Licence (L2) à l’Université Pierre et Marie Curie. Il est destiné à des étudiants souhaitant compléter une Licence à dominante en Analyse et poursuivre ensuite dans un Master de Mathématiques, spécialité Analyse ou Analyse numérique. On peut également l’utiliser dans le cadre de la préparation aux grandes écoles et aux concours de l’Éducation nationale, CAPES et Agrégation. |
| Note de contenu : |
1 Quelques éléments de logique 1
1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Suites et Séries Numériques 11
2.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Limites dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 47
3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales . . . . . . . . . . . 62
3.7 Définition des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Intégrales généralisées des fonctions positives. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9 Intégrales généralisées des fonctions ne gardant pas un signe constant . . 71
3.10 Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11 Corrigé des exercices sur le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Suites et séries de fonctions 79
4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Continuité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i
ii Table des matières
4.4 Dérivabilité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme . . . . . 90
4.6 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7 Corrigé des exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Séries entières 97
5.1 Définitions et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Dérivation et intégration des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Développement en série entière à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Développement en série entière des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . 107
5.6 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7 Exercices sur le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Séries trigonométriques 119
6.1 Définitions et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Continuité, dérivation et intégration de la somme . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Développement en séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Exercices sur le chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5 Corrigé des exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre 139
7.1 Théorème de convergence bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Continuité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre . . . . . . . . . . 144
7.5 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre 151
8.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Continuité de l’intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Application : transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Exercices sur le chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Bibliographie 171
Index |
Suites, séries, intégrales : cours et exercices corrigés [texte imprimé] / Guerre Delabrière Sylvie, Auteur ; . . - Paris (France) : ellipses, 2009 . - 192 p ; 24x18 cm. ISSN : 978729850548 Langues : Français ( fre) Langues originales : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Suites
séries -intégrales |
| Index. décimale : |
515 - Analyse mathématique |
| Résumé : |
L’étude des suites, séries et intégrales à valeurs numériques d’une part et à valeurs fonctionnelles d’autre part, qui constitue le sujet de ce livre, forme un ensemble de techniques indispensables en mathématiques et tout particulièrement en Analyse. Cet ouvrage présente en premier lieu un rappel des raisonnements logiques élémentaires en mathématique. Il s’intéresse ensuite aux méthodes de base de l’Analyse classique, reposant sur les différents types de convergence des suites, séries et intégrales à valeurs numériques puis à valeurs fonctionnelles, avec une approche pédagogique progressive. Les démonstrations mathématiques détaillées sont accompagnées de nombreux exemples ou contre-exemples, destinés à éclairer ces notions abstraites. Pour chaque chapitre, ce livre propose des exercices avec corrigés détaillés. Ce livre correspond à un cours enseigné actuellement en deuxième année de Licence (L2) à l’Université Pierre et Marie Curie. Il est destiné à des étudiants souhaitant compléter une Licence à dominante en Analyse et poursuivre ensuite dans un Master de Mathématiques, spécialité Analyse ou Analyse numérique. On peut également l’utiliser dans le cadre de la préparation aux grandes écoles et aux concours de l’Éducation nationale, CAPES et Agrégation. |
| Note de contenu : |
1 Quelques éléments de logique 1
1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Suites et Séries Numériques 11
2.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Limites dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Exercices sur le chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 47
3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales . . . . . . . . . . . 62
3.7 Définition des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Intégrales généralisées des fonctions positives. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9 Intégrales généralisées des fonctions ne gardant pas un signe constant . . 71
3.10 Exercices sur le chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11 Corrigé des exercices sur le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Suites et séries de fonctions 79
4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Continuité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i
ii Table des matières
4.4 Dérivabilité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme . . . . . 90
4.6 Exercices sur le chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7 Corrigé des exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Séries entières 97
5.1 Définitions et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Dérivation et intégration des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Développement en série entière à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Développement en série entière des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . 107
5.6 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7 Exercices sur le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Séries trigonométriques 119
6.1 Définitions et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Continuité, dérivation et intégration de la somme . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Développement en séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Exercices sur le chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5 Corrigé des exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre 139
7.1 Théorème de convergence bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Continuité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre . . . . . . . . . . 144
7.5 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre 151
8.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Continuité de l’intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Application : transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Exercices sur le chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
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