| Titre : |
Analyse numérique et équations différentielles |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Demailly Jean Pierre, Auteur |
| Editeur : |
EDP sciences |
| Année de publication : |
2016 |
| Importance : |
368p |
| Format : |
24x17 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7598-1926-3 |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Français (fre) |
| Mots-clés : |
Analyse numérique
équations différentielles |
| Index. décimale : |
515 |
| Résumé : |
Cet ouvrage est la quatrième édition d'un livre devenu aujourd'hui un classique sur la théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d'un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique.
De multiples techniques de l'analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d'équations. Suit un exposé rigoureux des résultats sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du premier et du second ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d'application en fin de chapitre facilitent l'apprentissage.
Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière version. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. La principale nouveauté est que l'ouvrage est maintenant un pap-ebook : le site compagnon en accès libre propose au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que la correction d'un grand nombre d'exercices.
Cet ouvrage accessible aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour la préparation aux concours de l'enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d'autres disciplines. |
| Note de contenu : |
sommaire:
Introduction .................................................................. 1
Chapitre I. Calculs num´eriques approch´es ..................................... 5
1. Cumulation des erreurs d’arrondi ............................................. 5
2. Ph´enom`enes de compensation ............................................... 12
3. Ph´enom`enes d’instabilit´e num´erique ......................................... 15
4. Probl`emes .................................................................. 17
Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions num´eriques ............ 21
1. M´ethode d’interpolation de Lagrange ........................................ 21
2. Convergence des polynˆomes d’interpolation .................................. 31
3. Meilleure approximation uniforme ........................................... 40
4. Stabilit´e num´erique du proc´ed´e d’interpolation de Lagrange ................. 47
5. Polynˆomes orthogonaux ..................................................... 52
6. Probl`emes .................................................................. 57
Chapitre III. Int´egration num´erique .......................................... 61
1. M´ethodes de quadrature ´el´ementaires et compos´ees .......................... 61
2. Evaluation de l’erreur ´ ....................................................... 67
3. M´ethodes de Gauss ......................................................... 76
4. Formule d’Euler-Maclaurin et d´eveloppements asymptotiques ................ 80
5. M´ethode d’int´egration de Romberg .......................................... 88
6. Probl`emes .................................................................. 92
Chapitre IV. M´ethodes it´eratives pour la r´esolution d’´equations ............. 101
1. Principe des m´ethodes it´eratives ........................................... 101
2. Cas des fonctions d’une variable ........................................... 103
Retrouver ce titre sur Numilog.com
vi Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles
3. Cas des fonctions de Rm dans Rm .......................................... 114
4. Le th´eor`eme des fonctions implicites ....................................... 122
5. Probl`emes ................................................................. 130
Chapitre V. Equations diff´ ´ erentielles. R´esultats fondamentaux ............... 135
1. D´efinitions. Solutions maximales et globales ................................ 135
2. Th´eor`eme d’existence des solutions ......................................... 141
3. Th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de Cauchy-Lipschitz ..................... 150
4. Equations diff´ ´ erentielles d’ordre sup´erieur `a un ............................. 157
5. Probl`emes ................................................................. 159
Chapitre VI. M´ethodes de r´esolution explicite des ´equations diff´erentielles ... 169
1. Equations du premier ordre ´ ................................................ 169
2. Equations du premier ordre non r´ ´ esolues en y ............................. 185
3. Probl`emes g´eom´etriques conduisant `a des ´equations diff´erentielles du 1er ordre 191
4. Equations diff´ ´ erentielles du second ordre ................................... 198
5. Probl`emes ................................................................. 208
Chapitre VII. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires ................................ 213
1. G´en´eralit´es ................................................................ 213
2. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants ...................... 215
3. Equations lin´ ´ eaires d’ordre p `a coefficients constants ........................ 222
4. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients variables ....................... 227
5. Probl`emes ................................................................. 233
Chapitre VIII. M´ethodes num´eriques `a un pas .............................. 239
1. D´efinition des m´ethodes `a un pas, exemples ................................ 240
2. Etude g´ ´ en´erale des m´ethodes `a un pas ..................................... 247
3. M´ethodes de Runge-Kutta ................................................. 258
4. Contrˆole du pas ........................................................... 265
5. Probl`emes ................................................................. 269
Chapitre IX. M´ethodes `a pas multiples ...................................... 273
1. Une classe de m´ethodes `a pas constant ..................................... 273
2. M´ethodes d’Adams-Bashforth .............................................. 283
3. M´ethodes d’Adams-Moulton ............................................... 288
4. M´ethodes de pr´ediction-correction ......................................... 293
5. Probl`emes ................................................................. 299
Retrouver ce titre sur Numilog.com
Table des mati`eres vii
Chapitre X. Stabilit´e des solutions
et points singuliers d’un champ de vecteurs ..................... 305
1. Stabilit´e des solutions ...................................................... 305
2. Points singuliers d’un champ de vecteurs ................................... 312
3. Probl`emes ................................................................. 321
Chapitre XI. Equations diff´ ´ erentielles d´ependant d’un param`etre ............ 323
1. D´ependance de la solution en fonction du param`etre ....................... 323
2. M´ethode des petites perturbations ......................................... 332
3. Probl`emes ................................................................. 338
R´ef´erences .................................................................. 343
Formulaire et principaux r´esultats ....................................... 345
Index terminologique ...................................................... 361
Index des notations ........................................................ 367 |
Analyse numérique et équations différentielles [texte imprimé] / Demailly Jean Pierre, Auteur . - France : EDP sciences, 2016 . - 368p ; 24x17 cm. ISBN : 978-2-7598-1926-3 Langues : Français ( fre) Langues originales : Français ( fre)
| Mots-clés : |
Analyse numérique
équations différentielles |
| Index. décimale : |
515 |
| Résumé : |
Cet ouvrage est la quatrième édition d'un livre devenu aujourd'hui un classique sur la théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d'un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique.
De multiples techniques de l'analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d'équations. Suit un exposé rigoureux des résultats sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du premier et du second ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d'application en fin de chapitre facilitent l'apprentissage.
Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière version. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. La principale nouveauté est que l'ouvrage est maintenant un pap-ebook : le site compagnon en accès libre propose au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que la correction d'un grand nombre d'exercices.
Cet ouvrage accessible aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour la préparation aux concours de l'enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d'autres disciplines. |
| Note de contenu : |
sommaire:
Introduction .................................................................. 1
Chapitre I. Calculs num´eriques approch´es ..................................... 5
1. Cumulation des erreurs d’arrondi ............................................. 5
2. Ph´enom`enes de compensation ............................................... 12
3. Ph´enom`enes d’instabilit´e num´erique ......................................... 15
4. Probl`emes .................................................................. 17
Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions num´eriques ............ 21
1. M´ethode d’interpolation de Lagrange ........................................ 21
2. Convergence des polynˆomes d’interpolation .................................. 31
3. Meilleure approximation uniforme ........................................... 40
4. Stabilit´e num´erique du proc´ed´e d’interpolation de Lagrange ................. 47
5. Polynˆomes orthogonaux ..................................................... 52
6. Probl`emes .................................................................. 57
Chapitre III. Int´egration num´erique .......................................... 61
1. M´ethodes de quadrature ´el´ementaires et compos´ees .......................... 61
2. Evaluation de l’erreur ´ ....................................................... 67
3. M´ethodes de Gauss ......................................................... 76
4. Formule d’Euler-Maclaurin et d´eveloppements asymptotiques ................ 80
5. M´ethode d’int´egration de Romberg .......................................... 88
6. Probl`emes .................................................................. 92
Chapitre IV. M´ethodes it´eratives pour la r´esolution d’´equations ............. 101
1. Principe des m´ethodes it´eratives ........................................... 101
2. Cas des fonctions d’une variable ........................................... 103
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vi Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles
3. Cas des fonctions de Rm dans Rm .......................................... 114
4. Le th´eor`eme des fonctions implicites ....................................... 122
5. Probl`emes ................................................................. 130
Chapitre V. Equations diff´ ´ erentielles. R´esultats fondamentaux ............... 135
1. D´efinitions. Solutions maximales et globales ................................ 135
2. Th´eor`eme d’existence des solutions ......................................... 141
3. Th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de Cauchy-Lipschitz ..................... 150
4. Equations diff´ ´ erentielles d’ordre sup´erieur `a un ............................. 157
5. Probl`emes ................................................................. 159
Chapitre VI. M´ethodes de r´esolution explicite des ´equations diff´erentielles ... 169
1. Equations du premier ordre ´ ................................................ 169
2. Equations du premier ordre non r´ ´ esolues en y ............................. 185
3. Probl`emes g´eom´etriques conduisant `a des ´equations diff´erentielles du 1er ordre 191
4. Equations diff´ ´ erentielles du second ordre ................................... 198
5. Probl`emes ................................................................. 208
Chapitre VII. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires ................................ 213
1. G´en´eralit´es ................................................................ 213
2. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants ...................... 215
3. Equations lin´ ´ eaires d’ordre p `a coefficients constants ........................ 222
4. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients variables ....................... 227
5. Probl`emes ................................................................. 233
Chapitre VIII. M´ethodes num´eriques `a un pas .............................. 239
1. D´efinition des m´ethodes `a un pas, exemples ................................ 240
2. Etude g´ ´ en´erale des m´ethodes `a un pas ..................................... 247
3. M´ethodes de Runge-Kutta ................................................. 258
4. Contrˆole du pas ........................................................... 265
5. Probl`emes ................................................................. 269
Chapitre IX. M´ethodes `a pas multiples ...................................... 273
1. Une classe de m´ethodes `a pas constant ..................................... 273
2. M´ethodes d’Adams-Bashforth .............................................. 283
3. M´ethodes d’Adams-Moulton ............................................... 288
4. M´ethodes de pr´ediction-correction ......................................... 293
5. Probl`emes ................................................................. 299
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Table des mati`eres vii
Chapitre X. Stabilit´e des solutions
et points singuliers d’un champ de vecteurs ..................... 305
1. Stabilit´e des solutions ...................................................... 305
2. Points singuliers d’un champ de vecteurs ................................... 312
3. Probl`emes ................................................................. 321
Chapitre XI. Equations diff´ ´ erentielles d´ependant d’un param`etre ............ 323
1. D´ependance de la solution en fonction du param`etre ....................... 323
2. M´ethode des petites perturbations ......................................... 332
3. Probl`emes ................................................................. 338
R´ef´erences .................................................................. 343
Formulaire et principaux r´esultats ....................................... 345
Index terminologique ...................................................... 361
Index des notations ........................................................ 367 |
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